La catedràtica de Matemàtiques de la UPC i directora del Laboratori de Geometria i Sistemes Dinàmics Eva Miranda, explica la recerca que va fer amb 3 matemàtics més per esbrinar si és possible crear un “ordinador d’aigua” teòric per avançar en el coneixement de la dinàmica de fluids i portar-la més enllà del que va establir la teoria del caos.
Van partir d’un treball inspirador de l’exnen prodigi Terence Tao i van agafar com a referents feines fetes per Leonhard Euler, Alan Turing, Olga Ladíjenskaia i Chris Moore, tot plegat en competència amb equips molt potents de CalTech i Princeton.
Escolta-ho aquí:
Aquesta és la transcripció aproximada d’aquest fragment:
Josep Maria Camps Collet (JMC): Comencem pel caos, o més aviat, per la superació del caos que vas anunciar, Eva, amb una recerca que vas fer amb tres matemàtics més i que va prendre com a excusa una mena de conte per a nens: tot de joguines de goma procedents d’un contenidor que va caure al mar des d’un vaixell a l’oceà Pacífic en una tempesta el 1992 i que van anar apareixent els següents anys a banda i banda d’aquest oceà portats pels corrents marins.
Un oceanògraf els va seguir la pista durant anys a través de notícies i de corresponsals, amb l’objectiu d’utilitzar les dades per crear un model d’aquests corrents, amb l’ànim de poder predir com funcionen i també on podien aparèixer més joguines de goma.
Vosaltres quatre vau partir de les equacions sobre fluids del matemàtic suís del segle XVIII Leonhard Euler, i vau fer-les servir de base per crear matemàticament, i literalment, un “ordinador d’aigua”, és a dir, una màquina de Turing feta únicament d’un fluid per esbrinar si podia comportar-se com un ordinador i, per tant, i corregeix-me si m’equivoco, saber en tot moment on està situada cada partícula del fluid, i per tant, cap on porta aquest fluid les joguines de goma.
I el que vau descobrir és que això no és possible, o més aviat, és “indicidible”. I fa més o menys un any vau proclamar que les conseqüències d’això arriben molt lluny, de fet, més lluny que la teoria del caos. En les teves pròpies paraules, Eva:
«En la teoria del caos, la impredictibilitat està associada a l’extrema sensibilitat del sistema en les condicions inicials, l’aleteig d’una papallona que pot generar un tornado, i en aquest cas es va més enllà: provem que no pot haver-hi cap algoritme que resolgui el problema, no és una limitació del nostre coneixement, sinó de la mateixa lògica matemàtica.»
Això no s’hauria d’haver tractat com un gran descobriment, equivalent a la mateixa teoria del caos, i hauríeu d’estar a les portes del premi Nobel, per exemple?
Eva Miranda (EM): Això és una exageració, però t’ho agreixo (riu). En realitat, la nostra construcció, és a dir, la que vam fer quan apareix aquesta nova noció de caos tresdimensional, o sigui a l’espai nostre, en dimensió dos… o sigui, el que vam fer amb la nostra construcció, he de dir que hi ha una part molt forta del mèrit del Chris Moore, que sí que va sortir en premsa l’any 90. Chris Moore era un estudiant de tesi quan va fer un parell d’observacions interessants, una de mecànica celeste, sobre el moviment del problema dels tres cossos, que després es va demostrar molt més tard, i és una persona que es dedica molt a fer conjectures «wild», i en demostra algunes, però algunes no les demostra. Llavors, havia fet una construcció dosdimensional, i ja va sortir en premsa llavors que era una nova noció de caos, però era dosdimensional. I ell va dir: aquesta noció de caos lògic, perquè la seva construcció…
La idea que hi ha al darrere del fet que sigui indecidible o imprevisible, per tant, tot al contrari de tu (a l’Alvaro Corral), tu dius que sí que ho pots preveure, i jo et dic no, no ho pots preveure, bàsicament… la idea que hi ha al darrere de tot això és en Turing, l’Alan Turing va demostrar que el problema de la parada era un problema irresoluble, i era la idea de si podia existir, en un moment que els matemàtics estaven molt molt preocupats, i estem tornant a aquest moment, de si es poden trobar demostracions automàtiques de problemes, és a dir, en certa manera també relacionat amb la idea de si la intel·ligència artificial pot suplir la intel·ligència humana. Són unes idees una mica connectades, i en aquell moment…
Ai, ara m’he perdut, estava parlant del Moore, ah sí! Del Turing, en aquell moment la gent no sabia si un problema es podia resoldre… si podia existir un computador que resolgués tots els problemes, i aquesta era una pregunta que es van fer a principis del segle XX i en Turing va demostrar que no podia haver-hi un ordinador… o sigui ho va demostrar d’una manera molt subtil, dient que no podia haver-hi un superordinador que digués si un determinat ordinador es pararà en un input, i això es coneix com el problema de la parada. Llavors, en conseqüència del que ell va demostrar, que és una demostració per reducció al absurd, sobre el que un pot fer aquest supercomputador, al fer aquesta demostració de fet va donar la definició o la construcció elemental del que seria la màquina de Turing. Per tant, sempre que tinguis un problema que li pots associar una màquina de Turing, pots aplicar el problema de la parada i, per tant, serà indecidible alguna cosa lligada amb aquest problema.
Què té a veure això amb els pobres aneguets? Bé, els aneguets he de dir, amb tota confiança, que això va ser a posteriori, i la nostra motivació per demostrar aquest resultat no venia del problema de la indecibilitat, això va ser una conseqüència, sinó que venia d’una pregunta que va formular el (Terence)Tao relatiu a un problema del mil·lenni, el problema de si existeix blow up de Navier/Stokes. Això ens va portar a estudiar problemes d’universalitat, i en particular, d’universalitat de Turing. I d’aquí, quan vam obtenir aquest resultat, vam veure que la conseqüència, és que com que es podia associar una màquina de Turing, doncs era indecidible saber que si tu fixes un lloc a l’espai, per exemple, a Alaska, i tu fiques un aneguet aquí sortint de Tarragona, serà indecidible saber si aquest aneguet arribarà a Alaska.
Hi ha una mica de trampa en tot això, una mica de trampa he de dir perquè aquí estem suposant que les equacions que seguirà l’aneguet, hauria de ser exactament les de la màquina que nosaltres vam construir. I dius, què té a veure això amb en Moore? Doncs que en Moore havia fet una construcció que era dosdimensional, una mica jugant amb fractals, i aquella construcció la va deixar en un calaix, bé, no, la va publicar, això va sortir en premsa, tothom va parlar que era un nou tipus de caos, perquè el que va fer en Moore va ser associar un sistema dinàmic, però aquell sistema dinàmic no tenia res a veure amb la física, no tenia res a veure amb la trajectòria de les partícules. Llavors ell ho va deixar allà, va sortir en premsa, bé, primer perquè és americà, i si ets americà i demostres alguna cosa surts en premsa, si ets d’aquí i demostres alguna cosa, és més difícil.
Però arrel d’allò va formular la pregunta, tinc aquesta construcció, però no hi ha cap sistema físic que pugui respondre a aquesta construcció. Llavors va plantejar: existeix algun sistema físic que ho pugui representar això? Nosaltres el que vam fer va ser construir-ne un a dimensió tres utilitzant la seva construcció en dimensió 2, i més cosetes, en particular això del mirall, de la part més de geometria. I llavors, es clar, com a conseqüència de tot això, com que li hem associat una màquina de Turing, que es diu un sistema Turing complete, però que li hem associat una màquina de Turing, el resultat de l’Alan Turing ens permet dir que és indecidible saber si una partícula que segueix exactament les nostres equacions, arribarà o no arribarà. Per tant, si aquests aneguets de goma seguissin exactament les nostres equacions, seria indecidible saber si arriben o no.
Hi ha una qüestió aquí, que els aneguets, ara diré una cosa realment fútil però que és important, n’hi ha uns que tenen forat, i n’hi ha uns altres que no en tenen, i això fa que s’enfonsin o no. I dius: però què m’estàs explicant? Doncs que si s’enfonsen és un problema en tres dimensions, i si no s’enfonsen és un problema d’una superfície, que en el problema de la superfície tot és molt diferent, perquè les equacions aquestes sí que es poden resoldre, sí que es coneix el seu resultat, i de fet és moment de parlar de dones que van demostrar coses: Olga Ladíjenskaia, que es va celebrar el seu aniversari el març, va ser que ho va demostrar en el cas de superfícies, i en dimensió tres, la resolució d’equacions d’aquest tipus, no se sap, no se sap i dius, bé això és molt inquietant, perquè si aquestes equacions les estem utilitzant per modelar el temps, és totalment inquietant… això justifica que no sabem quin temps farà demà, en certa manera, la indecibilitat, o imprevisibilitat, és a dir, (a l’Alvaro) tu mires la previsió, i jo miro el que seria indecidible, no sé si… m’estic enrotllant com una persiana, tu talla’m, eh?
JMC: Es clar, però, dues coses: primera no ho vau poder fer tenint en compte la viscositat, i vau haver d’anar a les fórmules d’Euler, i no vau poder agafar les de Navier-Stokes (que sí que contemplen la viscositat) perquè hagués estat més sofisticat encara?
EM: Bé, el que sí que hem fet, i això està també a l’article del PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences), és veure que nosaltres fem una construcció que és Euler, i després amb Navier-Stokes afegeixo la viscositat, tinc un líquid que és viscós, i aquesta viscositat és un número. Des d’un punt de vista així… científic, dius: val, això és una pertorbació de l’altre cas. El que passa és que aquestes equacions matemàtiques, quan les pertorbes canvien molt les propietats, llavors la construcció no serveix, és a dir, la construcció que fem de les màquines de Turing és 100% per Euler, però podem utilitzar aquesta construcció com a condicions inicials de Navier-Stokes, i en aquest cas particular, ficant una condició inicial determinada podem calcular com és tot el seu recorregut, i podem dir coses sobre Navier-Stokes, en particular el que diem és: ooops, amb aquesta condició inicial no tenim blow up.
Aquesta donava molta informació, perquè ja estic parlant de la motivació del Tao… o sigui, hi havia dues motivacions per mirar aquest problema, que era el Tao, que el que volia era utilitzar aquesta construcció de màquines de Turing per demostrar que hi ha blow up de Navier-Stokes, i guanyar un milió de dòlars -a ell no li fa falta guanyar un milió de dòlars, d’acord? – però és un d’aquests problemes… o sigui, en matemàtiques els matemàtics fem les coses per passió, no per diners, això no ho hauria de dir, perquè ara hauria de dir, no, pagueu-nos més, doneu-nos més diners, però hi ha una llista de problemes que estan pendents de resolució, de fet dels problemes del mil·lenni només se’n va resoldre un, que va ser el (Grigori) Perelman, i el Perelman no va anar a buscar el premi, que dius, per un que resol el problema…
I llavors el Tao aquesta idea la va tenir l’any 2018 o 2019, que va publicar un article a Nature amb aquesta idea de dir: si puc aconseguir una màquina de Turing per l’equació d’Euler potser puc provar el blow up de Navier-Stokes. Doncs nosaltres diem: mira, Tao, aquí tens una construcció de condició inicial, però aquesta no et serveix per Navier-Stokes. De fet li vam escriure al Terence Tao, i ens va dir: «Very cute, nice! Cool», però bueno, no tenia el blow up de Navier-Stokes, aquesta no era la nostra motivació, el que passa és que després, quan vam fer l’article, i vam veure que hi havia aquesta aplicació d’indecibilitat, és quan ens vam adonar que hi havia el Chris Moore, que en certa manera ja havia també preguntat si hi havia algun sistema físic que realitzava aquesta… (inaudible)
JMC: O sigui, el Moore el vau descobrir després?
EM: No, el Moore havia fet una construcció dosdimensional com dius tu: ah, us agrada jugar amb joguines, ell havia fet una construcció dosdimensional que va anunciar com una nova forma de caos, perquè aquella construcció dosdimensional associava a la màquina de Turing el que seria un sistema dinàmic, és a dir, unes equacions diferencials, que dius, bé, jo tinc una trajectòria d’una partícula, i allò miro el vector tangent, dibuixa la trajectòria, miro el vector tangent, i aquell vector compleix una determinada equació, que es diu equació de (inaudible). Llavors ell, el Moore, el que va fer va ser associar un sistema dinàmic a una màquina de Turing que era dosdimensional, perquè una cosa que va descobrir ell és que es podien construir màquines de Turing només jugant amb combinatòria, en certa manera, anar canviant punts del pla, valen, ell agafava un quadrat del pla i li treia… agafava un conjunt de Cantor, que vas construint traient… vas pentinant tres, i en treus una tercera part, pentines tres i vas traient una part, i amb un conjunt de Cantor, canviant l’ordre dels punts, això el que feia, aquest canvi d’ordre de punts, que seria una aplicació, el que fa és associar-li un sistema dinàmic.
Llavors ell havia fet aquesta construcció, però allò no corresponia al moviment real d’una trajectòria, o sigui ell diu això és un sistema abstracte però no hi ha cap sistema físic, i ho va preguntar: hi ha algun sistema físic que tingui aquesta construcció? Nosaltres el que vam fer va ser utilitzar la seva construcció amb punts i vam construir un sistema físic utilitzant la seva construcció, però vam tenir que fer bastanta més filigrana, allò del mirall, i tot això.
JMC: És un sistema físic però que no pot existir perquè hi ha unes quantes magnituds que són infinites, no? L’energia…
EM: A veure, hi ha dues construccions, està molt bé que ho diguis… hi ha dos punts: primer aquesta construcció… vam fer una mica de trampa, vale, jo dic que és un sistema físic i tal, però en realitat és una construcció que és física excepte en un conjunt, que és com un anell, i dins d’aquell anell, que és molt molt petitó, la mètrica és raríssima. I dius: i perquè no la pots canviar? Perquè el punt clau de la nostra construcció és la geometria, que això sí que no s’ho esperava ni el Moore, ni ningú, valen? Això va ser un factor sorpresa, amb aquest punt geomètric precisament estava treballant jo el 2019, i llavors el que va passar és que vaig veure la pregunta del Tao, i vaig dir, ah! Doncs utilitzem aquestes tècniques, i pum, pum, pum, pum, vam arribar a aquesta construcció. I aquest mirall geomètric és una mica capritxós, queda molt bé dir que això ho he fet utilitzant geometria, i dius, ai que bé, queda molt elegant, però llavors escriu les equacions, ah! Quan les escrius, amb tota aquesta qüestió del moviment de les equacions d’Euler i de Navier-Stokes una cosa molt important, que no es diu, és que hi ha una mètrica al darrere, és a dir, tenim una manera de mesurar la distància, i aquesta mètrica en els sistemes físics ni la pensem, és l’estàndard, és la mètrica on els vectors que són ortogonals són el perpendicular a la terra, etc, és la intuïtiva, el que diem la mètrica euclidiana, però podem canviar la mètrica. I dius, bé, en física això de canviar la mètrica deu ser una aberració. No, perquè ja sabem que en els forats negres la mètrica no és l’euclidiana, hi ha molts treballs d’aquests on canviar la mètrica és important.
Llavors en aquest treball el que vam fer va ser justament canviar la mètrica, i en aquesta espècie de correspondència entre la geometria i aquest camp… en un lloc estàs fent fluids, i a l’altre estàs fent geometria, és com si et canviessis les ulleres, dius tinc unes ulleres per mirar de prop, i unes… jo en tenia unes fins que se m’han trencat, ara només tinc les de prop, no puc mirar de lluny… Llavors és com canviar les ulleres, llavors en un problema el llenguatge és totalment de teoria de fluids, i l’altre és de geometria. I llavors el que aquí és un camp, quan travesses el mirall es converteix en una forma diferencial, que és una estructura de contacte, que se’n diu. Llavors el que fem és deformar l’estructura geomètrica i aquesta deformació el que fa, aquí tens l’estructura geomètrica de contacte, i a l’altra banda del mirall canvia aquesta estructura de contacte, aquí representa que el que has fet és que tens el camp i la mètrica. Llavors el que aquí has començat amb una mètrica euclidiana, però quan aquí deformes i tornes a travessar el mirall, allà tens una mètrica que ja no és euclidiana que pot explotar.
La construcció que fem primera no explota, és una mètrica d’energia finita. On explota, on tendeix a infinit, és la construcció que fem que no utilitza eines geomètriques, utilitza anàlisi, i això ho fem després, que és fem una construcció 100% euclidiana però el problema que té és que és euclidiana però allà l’energia sí que se’n va a infinit. Llavors és física, però no té sentit per a un físic.
JMC: I no seria aplicable a forats negres, per exemple?
EM: Ahhhhh…. es que ara m’estàs prenent la meva joguina, perquè jo ara estic jugant amb aquestes coses. O sigui…
JMC: …perquè s’està especulant què pot passar en un forat negre o a prop, i potser el que esteu treballant vosaltres és com…
EM: A veure, hi ha unes equacions, que crec que són les d’Einstein, si tu jugues en aquest joc i fiques una mètrica que no sigui mètrica, que sigui la dels forats negres, que és una degeneració, allà et surt un altre tipus d’equacions. I la cosa molt interessant és que jo crec, i ara aquí em llanço, que en aquest tipus d’equacions és fàcil demostrar el blow up de Navier-Stokes. Bé, fàcil, fàcil, es pot… Et diré més, a l’octubre vaig anar a Madrid, em vaig tancar un dia allà… perquè clar, havíem estat col·laborant amb els meus col·laboradors de Madrid tot online, i a l’octubre que vam tornar de viatge, a Madrid: No, no me puedo quedar mucho tiempo! Va 24 horas! Nos quedamos encerrados aquí en el despacho! N’hi havia un que estava connectat online, i llavors hi ha un del grup, l’Ángel, bueno vamos a ver, vamos a ver si podemos demostrar el blow up, pam, pam, pam, pam. Tenemos el blow up! Ens havíem creat…
JMC: Pots precisar això del blow up? Perquè en parles molt, de l’explosió, però estàs parlant de la indecibilitat?
EM: No, no, el blow up és… estic ara molt obsessionada pel problema aquest del mil·lenni, aquest no seria la indecibilitat, és el problema del mil·lenni de, tinc unes equacions complicades, i vull saber si tinc solució per tot temps d’aquelles equacions. Això dius, però això ha de ser veritat, intuïtivament ha de ser veritat. Doncs no se sap demostrar encara per les equacions de Navier-Stokes. I es diu això de blow up és perquè… això ho hauria d’haver explicat, el problema aquest del mil·lenni de Navier-Stokes, que és a la llista per guanyar un milió de dòlars, es pot fer dues coses: o demostrar que existeix aquesta solució per tot temps, o donar un contraexemple que no existeix una solució amb unes bones propietats per tot valor de temps. Llavors quan es parla de blow up és que no existeix una solució per tot valor de temps que té regularitat, i s’utilitza l’expressió blow up és perquè la idea és que si tu haguessis de fer una representació gràfica, se te n’aniria a fora…
JMC: Com si fos una explosió.
EM: Com si fos una explosió. És com si hi hagués ara un tsunami, i dius, bé, tsunamis, encara que no es veuen venir, sí que tens una detecció del tsunami abans, perquè físicament que hi hagi un blow up no té sentit, en els problemes de física, en canvi matemàticament ara mateix no se sap si hi haurà blow up o no, però si jo hagués d’apostar, no un milió de dòlars perquè… si tingués que apostar diners, apostaria que en menys de 5 anys demostraran que hi ha blow up, i algú s’endurà aquest milió de dòlars, i no seré jo (riu), serà el Tao, o un de Princeton, o…
JMC: Esteu competint?
EM: No, jo no estic competint, jo m’ho estic passant bé, jo estic en aquesta fase de la vida que…
JMC: Però s’entén que qui competeix és perquè s’ho passa bé competint, no?
EM: Bueno, es clar, ara off the record, això està gravat, hi ha un grup molt fort de CalTech i de Princeton que estan apostant per demostrar el blow up de diverses d’aquestes equacions, no exactament d’aquesta, però han aconseguit demostrar el blow up d’altres, utilitzant computer assisted proofs i per trobar les condicions inicials machine learning, o sigui que ja ens anem. I aquests sí que tenen un exèrcit de gent que calculen. I dius: ho fan per passió. Sí, sí, però estan molt ordenats, nosaltres som quatre que ens tanquem en una habitació i diem: ah, mira que bé! I això que dius: això s’aplica a forats negres, i teníem una construcció, aquell dia d’octubre, que pensàvem que teníem una construcció de blow up. Vaig estar allà 24 hores, em va acompanyar un d’ells a l’aeroport, tots emocionats: tenemos el blow! M’havien fet una entrevista l’Ágata Timón, Ágata, canvia el titular, el titular era: «Yo creo que Tao demostrará que hay blow up en las ecuaciones de Navier-Stokes», canvia ese titular, porque lo haremos antes. Vale, vale, lo cambio. Y al dia següent: «No lo cambies, era mentira» (riu), vaig agafar un avió i quan estava volant vaig dir: «un moment, un moment…» la construcció estava bé, però les condicions inicials del problema feia que allò podria correspondre al cas dels forats negres, però no podia correspondre a la mètrica euclidiana.
I llavors, un viatge de Vueling, un viatge baratet, aterres, i truca al meu col·laborador i li dic: «Oye, que las ecuaciones, me parece que la curvatura no es cero» «ohhh!». Bueno no va ser tan ràpid, crec que vaig trigar una mica més, i quan vaig arribar a casa vaig dir, «oohhh», i després vaig trucar a l’Ágata: «no no, vuelve a poner el titular, estoy segura que Tao…» es veritat això, és una anècdota, però bé, en particular amb aquest petit error, de fet ens va sortir, ara ens estem dedicant a mirar què hi ha de cert en tot allò, un error de percepció, perquè bàsicament sí que teníem una construcció que era una equació que al final en temps finit allò se n’anava a l’infinit, però aquella construcció també vam poder veure que no podia correspondre a la mètrica euclidiana, i entendre perquè no pot correspondre a la mètrica euclidiana i què pot sortir en aquest cas és una de les coses que estem fent ara, és una de les nostres joguines d’ara. De fet dimecres que ve ve aquest de Madrid, ara li he dit: «Coge el ave que nos da más tiempo para pensar, no cojas avión, es más sostenible».
Aquest és un fragment del quart programa de Sistema Gaia, pots escoltar-lo sencer en aquest podcast:
I aquí trobaràs la transcripció de la xerrada sencera:
SISTEMA GAIA 4 – MÉS ENLLÀ DEL CAOS
També et pots subscriure a Sistema Gaia a IVOOX i escoltar-lo allà.
Sistema Gaia 