#SistemaGaia4 – MÉS ENLLÀ DEL CAOS

Aquest és el quart programa de Sistema Gaia, un projecte per analitzar, debatre i donar a conèixer els sistemes complexos.

Gravat el 2 de juny de 2022, l’Eva Miranda, catedràtica de matemàtiques a la UPC i directora del laboratori de geometria i sistemes dinàmics, i l’Alvaro Corral, coordinador del grup de sistemes complexos al Centre de Recerca Matemàtica de la UAB, hi debaten sobre si els fenòmens extrems es poden o es podran predir, i de fins a quin punt el caos es genera a partir de mínimes variacions de les condicions inicials d’un sistema, o si es ja és intrínsec a la mateixa lògica matemàtica.

Pots escoltar-lo aquí:

Aquesta és la transcripció aproximada de tota la xerrada:

Josep Maria Camps Collet (JMC): Bon dia, bona tarda, bona nit, sigui quan sigui que estigueu escoltant això, aquest és el quart programa de Sistema Gaia, un projecte que vol tractar i debatre sobre això que en el vox populi se’n diu complexitat i que en àmbits més especialitzats s’anomena teoria de sistemes o paradigma dels sistemes complexos, o simplement sistemes complexos.

És un projecte del que us parla, en Josep Maria Camps i Collet, que és periodista de professió, antropòleg de formació, i «complexòleg» per vocació.

Avui parlarem de la teoria del caos, parlarem d’anar més enllà del que afirma aquesta teoria, i de com s’organitza la matèria i els éssers i les entitats que conformen el món, sovint en estats crítics que ens fan patir i ens fan sentir insegurs i poca cosa, però que sembla que són ben normals i naturals.

Ho farem amb dues persones que porten molts anys estudiant tot això des de la física i des de la matemàtica: són Eva Miranda, llicenciada i doctora en matemàtiques per la UB, professora ICREA des del 2016, directora del laboratori de geometria i sistemes dinàmics, i líder del grup de geometria de varietats i aplicacions.

Entre altres àmbits s’ha dedicat i es dedica a la recerca en geometria diferencial i la física matemàtica i els sistemes dinàmics, i recentment s’ha interessat per la dinàmica dels fluids i ha estudiat la seva complexitat computacional, topològica, dinàmica i lògica, i ho ha fet a través d’un “mirall”, després ens ho explicarà quin és i en què consisteix.

I Alvaro Corral, llicenciat i doctor en física per la UB, que ha dedicat i dedica la carrera a investigar l’emergència de la complexitat en la natura, fent models i intentant trobar com predir com es comporta i com es comportarà en el futur, i ho fa des de diverses vessants: la teòrica, la computacional, l’experimental i també treballa amb dades fruit de l’observació.

Ho ha fet estudiant els terratrèmols i les tempestes tropicals, però també, per exemple, l’evolució de la música popular occidental, i que potser ens explicarà que també és un sistema que s’organitza al voltant dels estats crítics.

Tots dos formen part del Centre de Rercerca Matemàtica ubicat a la UAB, una institució peculiar impulsada en el seu moment per l’Institut d’Estudis Catalans, que compta amb el suport i el finançament de la Generalitat, i que potser ens explicaran a què es dedica i què és el fa singular. En concret, l’Alvaro és el coordinador del grup de sistemes complexos d’aquest centre.

Comencem pel caos, o més aviat, per la superació del caos que vas anunciar, Eva, amb una recerca que vas fer amb tres matemàtics més i que va prendre com a excusa una mena de conte per a nens: tot de joguines de goma procedents d’un contenidor que va caure al mar des d’un vaixell a l’oceà Pacífic en una tempesta el 1992 i que van anar apareixent els següents anys a banda i banda d’aquest oceà portats pels corrents marins.

Un oceanògraf els va seguir la pista durant anys a través de notícies i de corresponsals, amb l’objectiu d’utilitzar les dades per crear un model d’aquests corrents, amb l’ànim de poder predir com funcionen i també on podien aparèixer més joguines de goma.

Vosaltres quatre vau partir de les equacions sobre fluids del matemàtic suís del segle XVIII Leonhard Euler, i vau fer-les servir de base per crear matemàticament, i literalment, un “ordinador d’aigua”, és a dir, una màquina de Turing feta únicament d’un fluid per esbrinar si podia comportar-se com un ordinador i, per tant, i corregeix-me si m’equivoco, saber en tot moment on està situada cada partícula del fluid, i per tant, cap on porta aquest fluid les joguines de goma.

I el que vau descobrir és que això no és possible, o més aviat, és “indicidible”. I fa més o menys un any vau proclamar que les conseqüències d’això arriben molt lluny, de fet, més lluny que la teoria del caos. En les teves pròpies paraules, Eva:

«En la teoria del caos, la impredictibilitat està associada a l’extrema sensibilitat del sistema en les condicions inicials, l’aleteig d’una papallona que pot generar un tornado, i en aquest cas es va més enllà: provem que no pot haver-hi cap algoritme que resolgui el problema, no és una limitació del nostre coneixement, sinó de la mateixa lògica matemàtica.»

Això no s’hauria d’haver tractat com un gran descobriment, equivalent a la mateixa teoria del caos, i hauríeu d’estar a les portes del premi Nobel, per exemple?

Eva Miranda (EM): Això és una exageració, però t’ho agreixo (riu). En realitat, la nostra construcció, és a dir, la que vam fer quan apareix aquesta nova noció de caos tresdimensional, o sigui a l’espai nostre, en dimensió dos… o sigui, el que vam fer amb la nostra construcció, he de dir que hi ha una part molt forta del mèrit del Chris Moore, que sí que va sortir en premsa l’any 90. Chris Moore era un estudiant de tesi quan va fer un parell d’observacions interessants, una de mecànica celeste, sobre el moviment del problema dels tres cossos, que després es va demostrar molt més tard, i és una persona que es dedica molt a fer conjectures «wild», i en demostra algunes, però algunes no les demostra. Llavors, havia fet una construcció dosdimensional, i ja va sortir en premsa llavors que era una nova noció de caos, però era dosdimensional. I ell va dir: aquesta noció de caos lògic, perquè la seva construcció…

La idea que hi ha al darrere del fet que sigui indecidible o imprevisible, per tant, tot al contrari de tu (a l’Alvaro), tu dius que sí que ho pots preveure, i jo et dic no, no ho pots preveure, bàsicament… la idea que hi ha al darrere de tot això és en Turing, l’Alan Turing va demostrar que el problema de la parada era un problema irresoluble, i era la idea de si podia existir, en un moment que els matemàtics estaven molt molt preocupats, i estem tornant a aquest moment, de si es poden trobar demostracions automàtiques de problemes, és a dir, en certa manera també relacionat amb la idea de si la intel·ligència artificial pot suplir la intel·ligència humana. Són unes idees una mica connectades, i en aquell moment…

Ai, ara m’he perdut, estava parlant del Moore, ah sí! Del Turing, en aquell moment la gent no sabia si un problema es podia resoldre… si podia existir un computador que resolgués tots els problemes, i aquesta era una pregunta que es van fer a principis del segle (XX) i en Turing va demostrar que no podia haver-hi un ordinador… o sigui ho va demostrar d’una manera molt subtil, dient que no podia haver-hi un superordinador que digués si un determinat ordinador es pararà en un input, i això es coneix com el problema de la parada. Llavors, en conseqüència del que ell va demostrar, que és una demostració per reducció al absurd, sobre el que un pot fer aquest supercomputador, al fer aquesta demostració de fet va donar la definició o la construcció elemental del que seria la màquina de Turing. Per tant, sempre que tinguis un problema que li pots associar una màquina de Turing, pots aplicar el problema de la parada i, per tant, serà indecidible alguna cosa lligada amb aquest problema.

Què té a veure això amb els pobres aneguets? Bé, els aneguets he de dir, amb tota confiança, que això va ser a posteriori, i la nostra motivació per demostrar aquest resultat no venia del problema de la indecibilitat, això va ser una conseqüència, sinó que venia d’una pregunta que va formular el (Terence)Tao relatiu a un problema del mil·lenni, el problema de si existeix blow up de Navier/Stokes. Això ens va portar a estudiar problemes d’universalitat, i en particular, d’universalitat de Turing. I d’aquí, quan vam obtenir aquest resultat, vam veure que la conseqüència, és que com que es podia associar una màquina de Turing, doncs era indecidible saber que si tu fixes un lloc a l’espai, per exemple, a Alaska, i tu fiques un aneguet aquí sortint de Tarragona, serà indecidible saber si aquest aneguet arribarà a Alaska.

Hi ha una mica de trampa en tot això, una mica de trampa he de dir perquè aquí estem suposant que les equacions que seguirà l’aneguet, hauria de ser exactament les de la màquina que nosaltres vam construir. I dius, què té a veure això amb en Moore? Doncs que en Moore havia fet una construcció que era dosdimensional, una mica jugant amb fractals, i aquella construcció la va deixar en un calaix, bé, no, la va publicar, això va sortir en premsa, tothom va parlar que era un nou tipus de caos, perquè el que va fer en Moore va ser associar un sistema dinàmic, però aquell sistema dinàmic no tenia res a veure amb la física, no tenia res a veure amb la trajectòria de les partícules. Llavors ell ho va deixar allà, va sortir en premsa, bé, primer perquè és americà, i si ets americà i demostres alguna cosa surts en premsa, si ets d’aquí i demostres alguna cosa, és més difícil.

Però arrel d’allò va formular la pregunta, tinc aquesta construcció, però no hi ha cap sistema físic que pugui respondre a aquesta construcció. Llavors va plantejar: existeix algun sistema físic que ho pugui representar això? Nosaltres el que vam fer va ser construir-ne un a dimensió tres utilitzant la seva construcció en dimensió 2, i més cosetes, en particular això del mirall, de la part més de geometria. I llavors, es clar, com a conseqüència de tot això, com que li hem associat una màquina de Turing, que es diu un sistema Turing complete, però que li hem associat una màquina de Turing, el resultat de l’Alan Turing ens permet dir que és indecidible saber si una partícula que segueix exactament les nostres equacions, arribarà o no arribarà. Per tant, si aquests aneguets de goma seguissin exactament les nostres equacions, seria indecidible saber si arriben o no.

Hi ha una qüestió aquí, que els aneguets, ara diré una cosa realment fútil però que és important, n’hi ha uns que tenen forat, i n’hi ha uns altres que no en tenen, i això fa que s’enfonsin o no. I dius: però què m’estàs explicant? Doncs que si s’enfonsen és un problema en tres dimensions, i si no s’enfonsen és un problema d’una superfície, que en el problema de la superfície tot és molt diferent, perquè les equacions aquestes sí que es poden resoldre, sí que es coneix el seu resultat, i de fet és moment de parlar de dones que van demostrar coses: Olga Ladíjenskaia, que es va celebrar el seu aniversari el març, va ser que ho va demostrar en el cas de superfícies, i en dimensió tres, la resolució d’equacions d’aquest tipus, no se sap, no se sap i dius, bé això és molt inquietant, perquè si aquestes equacions les estem utilitzant per modelar el temps, és totalment inquietant… això justifica que no sabem quin temps farà demà, en certa manera, la indecibilitat, o imprevisibilitat, és a dir, (a l’Alvaro) tu mires la previsió, i jo miro el que seria indecidible, no sé si… m’estic enrotllant com una persiana, tu talla’m, eh?

JMC: Es clar, però, dues coses: primera no ho vau poder fer tenint en compte la viscositat, i vau haver d’anar a les fórmules d’Euler, i no vau poder agafar les de Navier-Stokes (que sí que contemplen la viscositat) perquè hagués estat més sofisticat encara?

EM: Bé, el que sí que hem fet, i això està també a l’article del PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences), és veure que nosaltres fem una construcció que és Euler, i després amb Navier-Stokes afegeixo la viscositat, tinc un líquid que és viscós, i aquesta viscositat és un número. Des d’un punt de vista així… científic, dius: val, això és una pertorbació de l’altre cas. El que passa és que aquestes equacions matemàtiques, quan les pertorbes canvien molt les propietats, llavors la construcció no serveix, és a dir, la construcció que fem de les màquines de Turing és 100% per Euler, però podem utilitzar aquesta construcció com a condicions inicials de Navier-Stokes, i en aquest cas particular, ficant una condició inicial determinada podem calcular com és tot el seu recorregut, i podem dir coses sobre Navier-Stokes, en particular el que diem és: ooops, amb aquesta condició inicial no tenim blow up.

Aquesta donava molta informació, perquè ja estic parlant de la motivació del Tao… o sigui, hi havia dues motivacions per mirar aquest problema, que era el Tao, que el que volia era utilitzar aquesta construcció de màquines de Turing per demostrar que hi ha blow up de Navier-Stokes, i guanyar un milió de dòlars -a ell no li fa falta guanyar un milió de dòlars, d’acord? – però és un d’aquests problemes… o sigui, en matemàtiques els matemàtics fem les coses per passió, no per diners, això no ho hauria de dir, perquè ara hauria de dir, no, pagueu-nos més, doneu-nos més diners, però hi ha una llista de problemes que estan pendents de resolució, de fet dels problemes del mil·lenni només se’n va resoldre un, que va ser el (Grigori) Perelman, i el Perelman no va anar a buscar el premi, que dius, per un que resol el problema…

I llavors el Tao aquesta idea la va tenir l’any 2018 o 2019, que va publicar un article a Nature amb aquesta idea de dir: si puc aconseguir una màquina de Turing per l’equació d’Euler potser puc provar el blow up de Navier-Stokes. Doncs nosaltres diem: mira, Tao, aquí tens una construcció de condició inicial, però aquesta no et serveix per Navier-Stokes. De fet li vam escriure al Terence Tao, i ens va dir: «Very cute, nice! Cool», però bueno, no tenia el blow up de Navier-Stokes, aquesta no era la nostra motivació, el que passa és que després, quan vam fer l’article, i vam veure que hi havia aquesta aplicació d’indecibilitat, és quan ens vam adonar que hi havia el Chris Moore, que en certa manera ja havia també preguntat si hi havia algun sistema físic que realitzava aquesta… (inaudible)

JMC: O sigui, el Moore el vau descobrir després?

EM: No, el Moore havia fet una construcció dosdimensional com dius tu: ah, us agrada jugar amb joguines, ell havia fet una construcció dosdimensional que va anunciar com una nova forma de caos, perquè aquella construcció dosdimensional associava a la màquina de Turing el que seria un sistema dinàmic, és a dir, unes equacions diferencials, que dius, bé, jo tinc una trajectòria d’una partícula, i allò miro el vector tangent, dibuixa la trajectòria, miro el vector tangent, i aquell vector compleix una determinada equació, que es diu equació de (inaudible). Llavors ell, el Moore, el que va fer va ser associar un sistema dinàmic a una màquina de Turing que era dosdimensional, perquè una cosa que va descobrir ell és que es podien construir màquines de Turing només jugant amb combinatòria, en certa manera, anar canviant punts del pla, valen, ell agafava un quadrat del pla i li treia… agafava un conjunt de Cantor, que vas construint traient… vas pentinant tres, i en treus una tercera part, pentines tres i vas traient una part, i amb un conjunt de Cantor, canviant l’ordre dels punts, això el que feia, aquest canvi d’ordre de punts, que seria una aplicació, el que fa és associar-li un sistema dinàmic.

Llavors ell havia fet aquesta construcció, però allò no corresponia al moviment real d’una trajectòria, o sigui ell diu això és un sistema abstracte però no hi ha cap sistema físic, i ho va preguntar: hi ha algun sistema físic que tingui aquesta construcció? Nosaltres el que vam fer va ser utilitzar la seva construcció amb punts i vam construir un sistema físic utilitzant la seva construcció, però vam tenir que fer bastanta més filigrana, allò del mirall, i tot això.

JMC: És un sistema físic però que no pot existir perquè hi ha unes quantes magnituds que són infinites, no? L’energia…

EM: A veure, hi ha dues construccions, està molt bé que ho diguis… hi ha dos punts: primer aquesta construcció… vam fer una mica de trampa, vale, jo dic que és un sistema físic i tal, però en realitat és una construcció que és física excepte en un conjunt, que és com un anell, i dins d’aquell anell, que és molt molt petitó, la mètrica és raríssima. I dius: i perquè no la pots canviar? Perquè el punt clau de la nostra construcció és la geometria, que això sí que no s’ho esperava ni el Moore, ni ningú, valen? Això va ser un factor sorpresa, amb aquest punt geomètric precisament estava treballant jo el 2019, i llavors el que va passar és que vaig veure la pregunta del Tao, i vaig dir, ah! Doncs utilitzem aquestes tècniques, i pum, pum, pum, pum, vam arribar a aquesta construcció. I aquest mirall geomètric és una mica capritxós, queda molt bé dir que això ho he fet utilitzant geometria, i dius, ai que bé, queda molt elegant, però llavors escriu les equacions, ah! Quan les escrius, amb tota aquesta qüestió del moviment de les equacions d’Euler i de Navier-Stokes una cosa molt important, que no es diu, és que hi ha una mètrica al darrere, és a dir, tenim una manera de mesurar la distància, i aquesta mètrica en els sistemes físics ni la pensem, és l’estàndard, és la mètrica on els vectors que són ortogonals són el perpendicular a la terra, etc, és la intuïtiva, el que diem la mètrica euclidiana, però podem canviar la mètrica. I dius, bé, en física això de canviar la mètrica deu ser una aberració. No, perquè ja sabem que en els forats negres la mètrica no és l’euclidiana, hi ha molts treballs d’aquests on canviar la mètrica és important.

Llavors en aquest treball el que vam fer va ser justament canviar la mètrica, i en aquesta espècie de correspondència entre la geometria i aquest camp… en un lloc estàs fent fluids, i a l’altre estàs fent geometria, és com si et canviessis les ulleres, dius tinc unes ulleres per mirar de prop, i unes… jo en tenia unes fins que se m’han trencat, ara només tinc les de prop, no puc mirar de lluny… Llavors és com canviar les ulleres, llavors en un problema el llenguatge és totalment de teoria de fluids, i l’altre és de geometria. I llavors el que aquí és un camp, quan travesses el mirall es converteix en una forma diferencial, que és una estructura de contacte, que se’n diu. Llavors el que fem és deformar l’estructura geomètrica i aquesta deformació el que fa, aquí tens l’estructura geomètrica de contacte, i a l’altra banda del mirall canvia aquesta estructura de contacte, aquí representa que el que has fet és que tens el camp i la mètrica. Llavors el que aquí has començat amb una mètrica euclidiana, però quan aquí deformes i tornes a travessar el mirall, allà tens una mètrica que ja no és euclidiana que pot explotar.

La construcció que fem primera no explota, és una mètrica d’energia finita. On explota, on tendeix a infinit, és la construcció que fem que no utilitza eines geomètriques, utilitza anàlisi, i això ho fem després, que és fem una construcció 100% euclidiana però el problema que té és que és euclidiana però allà l’energia sí que se’n va a infinit. Llavors és física, però no té sentit per a un físic.

JMC: I no seria aplicable a forats negres, per exemple?

EM: Ahhhhh…. es que ara m’estàs prenent la meva joguina, perquè jo ara estic jugant amb aquestes coses. O sigui…

JMC: …perquè s’està especulant què pot passar en un forat negre o a prop, i potser el que esteu treballant vosaltres és com…

EM: A veure, hi ha unes equacions, que crec que són les d’Einstein, si tu jugues en aquest joc i fiques una mètrica que no sigui mètrica, que sigui la dels forats negres, que és una degeneració, allà et surt un altre tipus d’equacions. I la cosa molt interessant és que jo crec, i ara aquí em llanço, que en aquest tipus d’equacions és fàcil demostrar el blow up de Navier-Stokes. Bé, fàcil, fàcil, es pot… Et diré més, a l’octubre vaig anar a Madrid, em vaig tancar un dia allà… perquè clar, havíem estat col·laborant amb els meus col·laboradors de Madrid tot online, i a l’octubre que vam tornar de viatge, a Madrid: No, no me puedo quedar mucho tiempo! Va 24 horas! Nos quedamos encerrados aquí en el despacho! N’hi havia un que estava connectat online, i llavors hi ha un del grup, l’Ángel, bueno vamos a ver, vamos a ver si podemos demostrar el blow up, pam, pam, pam, pam. Tenemos el blow up! Ens havíem creat…

JMC: Pots precisar això del blow up? Perquè en parles molt, de l’explosió, però estàs parlant de la indecibilitat?

EM: No, no, el blow up és… estic ara molt obsessionada pel problema aquest del mil·lenni, aquest no seria la indecibilitat, és el problema del mil·lenni de, tinc unes equacions complicades, i vull saber si tinc solució per tot temps d’aquelles equacions. Això dius, però això ha de ser veritat, intuïtivament ha de ser veritat. Doncs no se sap demostrar encara per les equacions de Navier-Stokes. I es diu això de blow up és perquè… això ho hauria d’haver explicat, el problema aquest del mil·lenni de Navier-Stokes, que és a la llista per guanyar un milió de dòlars, es pot fer dues coses: o demostrar que existeix aquesta solució per tot temps, o donar un contraexemple que no existeix una solució amb unes bones propietats per tot valor de temps. Llavors quan es parla de blow up és que no existeix una solució per tot valor de temps que té regularitat, i s’utilitza l’expressió blow up és perquè la idea és que si tu haguessis de fer una representació gràfica, se te n’aniria a fora…

JMC: Com si fos una explosió.

EM: Com si fos una explosió. És com si hi hagués ara un tsunami, i dius, bé, tsunamis, encara que no es veuen venir, sí que tens una detecció del tsunami abans, perquè físicament que hi hagi un blow up no té sentit, en els problemes de física, en canvi matemàticament ara mateix no se sap si hi haurà blow up o no, però si jo hagués d’apostar, no un milió de dòlars perquè… si tingués que apostar diners, apostaria que en menys de 5 anys demostraran que hi ha blow up, i algú s’endurà aquest milió de dòlars, i no seré jo (riu), serà el Tao, o un de Princeton, o…

JMC: Esteu competint?

EM: No, jo no estic competint, jo m’ho estic passant bé, jo estic en aquesta fase de la vida que…

JMC: Però s’entén que qui competeix és perquè s’ho passa bé competint, no?

EM: Bueno, es clar, ara off the record, això està gravat, hi ha un grup molt fort de CalTech i de Princeton que estan apostant per demostrar el blow up de diverses d’aquestes equacions, no exactament d’aquesta, però han aconseguit demostrar el blow up d’altres, utilitzant computer assisted proofs i per trobar les condicions inicials machine learning, o sigui que ja ens anem. I aquests sí que tenen un exèrcit de gent que calculen. I dius: ho fan per passió. Sí, sí, però estan molt ordenats, nosaltres som quatre que ens tanquem en una habitació i diem: ah, mira que bé! I això que dius: això s’aplica a forats negres, i teníem una construcció, aquell dia d’octubre, que pensàvem que teníem una construcció de blow up. Vaig estar allà 24 hores, em va acompanyar un d’ells a l’aeroport, tots emocionats: tenemos el blow! M’havien fet una entrevista l’Ágata Timón, Ágata, canvia el titular, el titular era: «Yo creo que Tao demostrará que hay blow up en las ecuaciones de Navier-Stokes», canvia ese titular, porque lo haremos antes. Vale, vale, lo cambio. Y al dia següent: «No lo cambies, era mentira» (riu), vaig agafar un avió i quan estava volant vaig dir: «un moment, un moment…» la construcció estava bé, però les condicions inicials del problema feia que allò podria correspondre al cas dels forats negres, però no podia correspondre a la mètrica euclidiana.

I llavors, un viatge de Vueling, un viatge baratet, aterres, i truca al meu col·laborador i li dic: «Oye, que las ecuaciones, me parece que la curvatura no es cero» «ohhh!». Bueno no va ser tan ràpid, crec que vaig trigar una mica més, i quan vaig arribar a casa vaig dir, «oohhh», i després vaig trucar a l’Ágata: «no no, vuelve a poner el titular, estoy segura que Tao…» es veritat això, és una anècdota, però bé, en particular amb aquest petit error, de fet ens va sortir, ara ens estem dedicant a mirar què hi ha de cert en tot allò, un error de percepció, perquè bàsicament sí que teníem una construcció que era una equació que al final en temps finit allò se n’anava a l’infinit, però aquella construcció també vam poder veure que no podia correspondre a la mètrica euclidiana, i entendre perquè no pot correspondre a la mètrica euclidiana i què pot sortir en aquest cas és una de les coses que estem fent ara, és una de les nostres joguines d’ara. De fet dimecres que ve ve aquest de Madrid, ara li he dit: «Coge el ave que nos da más tiempo para pensar, no cojas avión, es más sostenible».

JMC: I còmode també, no has d’anar fins a l’aeroport. Això que dius em suggereix el que li va passar al Benoît Mandelbrot, que d’alguna manera quan va tenir la il·luminació dels fractals, va començar a adaptar eines matemàtiques creades a finals del segle XIX i principis del XX que els que les van crear… fa molta gràcia com ho diu, aquesta gent es pensava que estava fent coses hiperabstractes i resulta que jo he vist que es poden aplicar, per exemple, a com pots recrear, o imaginar, o veure la geometria del sistema circulatori humà, i que aquella persona es pensava que estava fent una cosa hiperabstracta, i resulta que la matèria s’organitza amb aquests paràmetres que ens semblen tan abstractes.

EM: Perquè són paràmetres de repetició, on tenim un reescalat, que aquesta era la idea de… quan Tao… jo vaig llegir l’article i vaig dir: aquí hi ha un fractal. I en Daniel: «Cómo que hay un fractal?», «Aquí hay un fractal», i al final hi havia un fractal, perquè el conjunt de Cantor… o sigui, vas fent còpies, vas fent còpies cada vegada més petites d’una cosa i et surt un fractal. Bé, el sistema circulatori, el tumoral, sí, té moltes aplicacions, o sigui els models de moltes coses passen per fractals.

JMCC: Tumoral també, els tumors…?

EM: Bé, ara ho he dit per… bueno, va, deu ser veritat (riu), segur que sí, però vaja, no sé, busquem-ho.

JMC: (A l’Àlvaro) Bé, en Mandelbrot explica que el cervell està organitzat de manera fractal, bé, i molts sistemes, no? I llavors, la relació que teniu amb aquesta gent tan abstracte, i vosaltres que voleu aplicar aquestes eines o altres a realitats físiques, com funciona? Esteu en un centre de recerca matemàtica però suposo que el que busqueu és aplicar a la realitat, entre cometes, i per fer prediccions, com funciona això, com ho descriuries?

Alvaro Corral (AC): Com funciona el dia a dia, vols dir?

JMC: No, com es casa la naturalesa abstracta del que fan els matemàtics amb el que necessita un físic, per exemple, que està tractant amb…

AC: Sí, a veure, són eslabons (com es diu en català – petit debat lingüístic -) d’una cadena, és una cadena molt llarga, jo encara que soc físic tampoc estic a l’altra extrem de la cadena, suposo que hi ha matemàtics molt purs, després hi ha matemàtics més impurs, després hi ha físics que fan matemàtiques…

EM: Hi ha gent que es va transformant pel camí, que un comença… o sigui el model aquest que has dit abans, dels matemàtics que estan fent coses de dir… a les 8 del matí demostraré la hipòtesi 1, hi ha gent que funciona així, però quin avorriment.

AC: Ja et dic que és una llarga cadena de transmissió de coneixement, n’hi dic cadena però segurament seria una cosa més fractal que una cadena, nosaltres estem en contacte amb meteoròlegs i amb climatòlegs, i sí, realment intentem fer una mica de lligam entre dos mons.

EM: I el CAFE, tens el CAFE, que és una superprojecte.

AC: Sí, tenim un projecte una mica d’ajudar a aplicar tècniques de física no lineal i d’aquest tipus que venen dels fractals i dels sistemes complexos per intentar ajudar a la predicció meteorològica, que és una mica el que deia abans l’Eva, que també és un negoci com molt… és una empresa molt molt gran, nosaltres el que contribuïm és molt més petit en aquest sentit.

JMC: Heu trobat un acròstic molt maco, CAFE, té gràcia, no sé si té segones: anem a fer el cafè…

AC: Sí, vol dir «Climate Advanced Forecasting of Extrems», o sigui, predicció d’esdeveniments extrems del clima.

JMC: I us trobeu amb el mateix que parlava ella, deu ser el caos, però també la indecibilitat, és a dir un problema que es veu com irresoluble, però que t’hi pots anar acostant una mica més cada vegada, però que en el fons la predicció sempre és a pocs dies, s’ha millorat molt aquestes últimes dècades…

EM: Quins models utilitzes?

AC: Bé, jo no estic en models de predicció ni de meteorologia ni de clima, jo faig coses una mica més… no sé si dir fonamentals o simples també, encara que sigui de l’àrea de sistemes complexos, en sistemes complexos van molt bé els models simples, els models molt molt senzills, que matemàticament poden ser molt complicats però que es poden simular molt fàcilment en un ordinador i t’ajuden a entendre coses que estan passant.

JMC: Tens algun exemple que ens puguis explicar?

AC: Bé, potser no exactament de… bé, d’alguna manera hi ha models molt generals, per exemple, hi ha un model molt general del segle XIX, que és el model de Galton-Watson, que és el que es diu un procés de ramificació, el Galton, al segle XIX, era un paio molt famós, no sé si dir que era matemàtic, perquè era un home d’aquests polifacètic que feia de tot, un savi d’aquests de l’època victoriana, va trobar la distribució gaussiana i variada, i els coeficients de de correlació i tot això, va ser un matemàtic una mica experimental, o intuïtiu segurament, i una de les coses que va introduir va ser el model aquest de Galton, que el que el va resoldre va ser el Watson, que estava preocupat perquè a Anglaterra, a l’època victoriana, pensava que les famílies benestants, aristocràtiques, s’extingirien, s’estaven extingint, i pensava que això podria ser un problema per ells, i llavors era un model que començaves amb un pare, que tenia un número aleatori de fills, començava amb un pare perquè les dones tampoc li interessaven molt, no? Li interessaven més els homes.

És un model molt senzill en què cada home té un número aleatori de fills, i cada fill té un número aleatori de fills, i d’aquesta manera això dona lloc a un procés de ramificació, i essencialment poden passar dues coses: que vagi a l’infinit, que tinguin moltíssims fills, o que s’extingeixin. En Galton ho va proposar, en Watson ho va resoldre, malament, es va descuidar d’una solució, perquè es pensava que sempre s’extingia, i no és veritat. Aquest model tan senzill que es va aplicar per a això, pot servir per moltes coses, després al segle XX es va utilitzar, per exemple, al projecte Manhattan, per estudiar com es propaguen els neutrons dintre del material fisionable, perquè és el mateix en el fons: una reacció nuclear és com un procés de ramificació, quan tens una desintegració radioactiva això genera neutrons, i aquests neutrons generen més neutrons, i així successivament, i el que és molt important és el número mig que genera, o el número mig de fills, si tu assumeixes que el número mig de fills és 0,5, si cada pare té mig fill de mitjana, això és el que passa a Catalunya segurament, arribarem a l’extinció (riu)

I al revés, si el número de fills de mitjana és 10 això creix cap a l’infinit, oi? Doncs aquest model també tan senzill es pot aplicar també als terratrèmols, perquè és el mateix, quan comença un terratrèmol comença com una cosa molt petita, una fractura molt petita, un lliscament o una falla de no res, i això es propaga, tens un punt on comença el lliscament i això es pot propagar o no, aleatòriament, es propaga aquí i aquí, a 2 punts, i aquests 2 punts, aquest no es propaga però aquest es propaga a 3 punts, i és una mena de cosa semblant, aleatòria. Aquests models tan senzills, tan senzills, són models si vols conceptuals, tenen la seva gràcia matemàtica, perquè són una mica difícils de tractar matemàticament, i a la pràctica no es pot aplicar directament però sí que t’ajuden a entendre, per exemple, ara també es pot aplicar a entendre la propagació de les epidèmies, que és el mateix, al final: si jo tinc covid, doncs pot ser que us contagiï a vosaltres, a algú de vosaltres…

EM: Tens la verola del mono? (riu) Si ara tens covid, segur que tenim covid nosaltres.

AC: (riu) Cada persona contagia un número aleatori de persones, en la versió més simplificada això ho iteres, i el més important és la mitjana, si de mitjana jo contagio a una persona, estàs en el punt crític.

JMC: Sí, és allò que si l’Rt era 1, si estava per sota o si estava per sobre…

AC: Sí, és l’R0 aquest que diuen, si és 1 estàs en el llindar entre créixer o no créixer. I això dels punts crítics també passa a la física, a la física tens els materials, que tenen els seus punts crítics, i aquí lliga amb el que deia l’Eva, que en les estructures fractals els materials els observes al punt crític, al punt crític és on veus estructures fractals, per exemple, si tens un material magnètic pots tenir magnetització negativa o positiva, si tu pintes en el teu material els àtoms que tenen magnetització positiva, o sigui que l’espí apunta cap a una direcció i els que apunten a una altra, i ho pintes en el punt crític, veus unes estructures fractals, veus estructures de totes les grandàries, i és només en el punt crític que obtens els fractals.

JMC: Sí, això és el que va fer en Giorgio Parisi amb els vidres d’espí, no?

AC: Bé, sí, els vidres d’espí és una complicació més… partia del model d’Ising, que és un model molt senzillet, i en Parisi li va afegir uns quants nivells de complexitat, va afegir el desordre, i és el tema estrella pel que li van donar el premi Nobel, el seu camp estrella són els vidres d’espí, però després ha fet moltes coses, o sigui que és un premi així una mica… per una banda per aquest treball, però també les altres ramificacions que tenia. No sé si si he contestat la teva pregunta…

JMC: Sí, sí, i he vist a més que destaques la teva dedicació a la llei de Zipf, i que té relació amb coses que havia fet en Mandelbrot, oi?

AC: Sí, sí, de fet en Mandelbrot els anys 50 abans dels fractals va començar mirant la llei de Zipf. Bueno la relació una mica és el que… quan et parlava dels punts crítics, els punts crítics el que tens, per exemple, si consideres un model d’epidèmies, el número de persones que es contagien en un outbreak (com es diu?)

JMC: no és un blow up, però va per aquí, oi?

AC: És igual, el número de persones que es contagia si, per exemple, R0 aquest de les epidèmies és més petit que 1, aquest número serà petit, 10 o 20 persones com a molt. Per altra banda en un model, com aquest tan senzill de ramificació, el número de persones que teòricament es podrien contagiar és infinit. Això és en el model hipotètic que no té límit, pot anar fins a l’infinit, però en el punt crític, la distribució, això és aleatori,a la distribució del número de persones que es poden contagiar és una llei de potències, és una cosa que decau molt lentament, de fet no té escala característica, poden ser 10 persones, 100 persones, 1.000 persones, 10.000 persones, cada cop la probabilitat és més petita però… és molt peculiar perquè si tu calcules la mitja d’aquesta distribució, resulta que és infinit, és una distribució de probabilitat que està ben definida però el valor esperat és infinit, i una mica la connexió amb la llei de Zipf és aquesta, a la llei de Zipf passen coses semblants.

Lluís Marimon – Per cert, està demostrada estadísticament? Perquè veig que l’has treballada molt, i he vist que bastants estudis ho posen en dubte.

AC: Hi ha batalla, hi ha batalla, sí.

LM: Ho dic també perquè de vegades quan veus coses que es diuen, per exemple, que la població de les ciutats segueix la llei de Zipf, però veus exemples i dius: no hi haurà un biaix de confirmació? O realment estan estudiant una llei que es compleix?

AC: Es clar, és una llei estadística, en el fons, crec que la llei de Zipf és una bona descripció qualitativa, qualitativament et descriu el que està passant. Si tu vols fer un test estadístic rigorós per dir si això segueix… per exemple, la població de les ciutats, és un exemple que es dona de llei de Zipf, llavors si fas un test estadístic…

EM: La fiabilitat depèn una mica de la ciutat, i del número de persones…

AC: Sí, i hi pot haver altres distribucions, en el fons hi ha dues escoles, hi ha els que diuen que és una llei de potències i altres que diuen que és loc normal (?), que és la distribució loc normal, i aquest debat està una mica… per exemple, en el cas de les ciutats és una mica delicat…

JMC: Podries definir-la perquè quedi explicat, la llei de Zipf en què consisteix?

AC: En què consisteix? Per exemple, mires un text i comences a comptar paraules, posem en anglès, la paraula que més surt és «the», l’article, després pot dependre una mica, la segona que més surt és «of», la tercera és «to». Pot dependre una mica del text, no és el mateix un text de matemàtiques que un de poesia, però la llei es compleix igualment, les paraules canvien, però els números no canvien. Llavors, si la paraula «the» al teu text surt 10.000 vegades, la següent paraula, que és «of», sortirà 5.000 vegades. I la següent quina hem dit que era?

EM: «For» o «to».

AC: La que sigui, sortirà 3.300 vegades, més o menys, òbviament no és exacte, t’ho explicat amb les tres paraules més comunes, la llei s’observa millor no en aquesta zona, del rang de freqüències, no en les freqüències més altes, sinó en les més…

JMC: Intermedies?

AC: Bé, sí, també… És una mica complicat, perquè s’ha de mirar d’una altra manera… també amb les ciutats, si te’n vas als Estats Units, quina ciutat té més població? Doncs Nova York, què té? 10 milions d’habitants, no? I després quina hi ha? Los Angeles, 5 milions, després Chicago, 3 milions… m’estic inventant una mica els números…

EM: San Francisco on està aquí?

AC: No, San Francisco és més petita, un milió potser, no? Els Estats Units no té ciutats molt molt grans, traient aquestes tres o quatre… Però vaja, tens aquesta distribució, que la pots mirar així, com et dic, això es diu mirar per rangs, o es pot mirar com la distribució de probabilitat de la grandària de les ciutats en funció del número d’habitants, això és el que dèiem l’outbreak aquest de les epidèmies, encara no em ve la paraula al cap…

EM: Com que no s’està gravant en vídeo no saben que ho estem buscant a…

AC: Trampa, trampa!

EM: Però m’he de posar les ulleres…

AC: Doncs això, en quina distribució de grandària estem? Doncs una distribució que ve donada per una llei de potències… no sé si ara t’estic contestant la pregunta o no…

JMC: Sí, llavors, el que t’havia preguntat en Lluís que no…

EM: Brote, i en català com és? Brot.

AC: Gràcies, a veure si no se m’oblida. La pregunta era com de bé mires això? Es clar, quan tu mires això en termes de distribució de probabilitats vols dir que tens una ciutat que té una grandària de 10 milions, però només en tens una, després en tens una de 5 milions, però només en tens una també, o sigui que des del punt de vista estadístic això no és problema, et dona igual que siguin 10 milions que 11 milions, perquè només és una, això per fer un test estadístic no et dona problema, el problema són, per exemple, els pobles molts petits: quants pobles de 1.000 habitants tens? Doncs en tens molts, en tens moltíssims, ara no et sabria dir el número als Estats Units, però clar aquí com que tens estadística és quan venen desviacions de la llei aquesta, perquè no és el mateix tenir 10.000 pobles que 11.000, perquè quan tens moltes dades les desviacions compten molt, si tens una o dues coses molt grans, des del punt de vista estadístic et dona igual, però si en tens 10.000 o 11.000 coses molt petites, és molt diferent.

Llavors des del punt de vista de les ciutats grans no importen molt els números, però per ciutats intermedies sí que s’observen aquestes relacions molt bé. Inclús jo diria que s’observen millor en lingüística que en ciutats, és una mica… Clar, la gent pensa que en la llei de Zipf hi ha d’haver un mecanisme general, perquè és una llei que s’observa molt, en lingüística, en ciutats, nosaltres l’hem vist en música, canviant paraules per notes musicals, també en empreses, la grandària de les empreses, quants treballadors té una empresa? Doncs n’hi ha moltes que tenen molt pocs treballadors i hi ha poques empreses que tenen moltíssims treballadors. Però no hi ha una separació natural entre empresa gran i empresa petita, perquè la mateixa llei t’ho descriu tot, no tens una cosa bimodal, no tens un bony aquí i un bony allà, no, no, tens una corba suau que ho abasta tot. Llavors hi ha molta gent que pensa que hi ha un mecanisme universal que explica la llei de Zipf, tant en lingüística, com en paraules, com en empreses, i que també podria estar relacionat amb els punts crítics de les transicions de fase, però potser has de fer models una mica particulars, perquè potser no és el mateix… Hi ha gent que ha fet servir els mateixos models per ciutats que per textos, però potser no és molt realista, per ciutats hi ha un efecte de… és el model de Simon, que quan una persona neix, neixen més persones a les ciutats més grans, i neixen menys persones a les ciutats més petites, no?

JMC: Sembla lògica, no?

AC: Doncs Simon va aplicar això als textos: quan tu estàs escrivint un text la probabilitat que repeteixis una paraula és proporcional a la freqüència d’aparició d’aquella paraula, és un model que et dona la llei de Zipf, però clar, des del punt de vista cognitiu no és un model molt realista, perquè quan tu estàs escrivint no mires enrere i tires un dau i agafes una paraula de totes les que havies escrit. Llavors, els models aquests poden ser molt senzills, però el seu poder explicatiu o…

EM: De predicció? És limitat?

AC: Sí, en la pràctica també és molt difícil validar el model… com escrivim nosaltres? És molt curiós que al final si nosaltres escrivim un text, qualsevol, fem un exercici, escrivim una redacció lliure, el tema que vulgueu, allò esperable és que el vostre text segueixi la llei de Zipf, i cadascú haurà escrit el que vulgui. De fet, en això només es troben desviacions en persones…

EM: En els dadaistes, amb els poemes dels dadaistes. (riures)

AC: Això ho hauria de mirar, no ho sé… Es troben desviacions en persones que tenen problemes psiquiàtrics.

EM: Ah! És una prova de detecció possible?

AC: Tampoc sé si és molt fiable, no ho sé això, no sé si pots…

JMC: Es fa servir?

AC: No ho sé, no sé si pots fer servir un diagnòstic a partir d’un text així… Bé, òbviament una persona que no està bé del cap escriu una cosa i…

JMC: No cal anar comptant les paraules, potser ja es veu clarament, no? Es clar, tot això que expliqueu està molt bé, però potser es fa difícil saber quin tipus d’aplicacions té i quin tipus d’utilitat.

AC: Bé, pots guanyar un milió de dòlars, si no et sembla bona aplicació…

EM: Bé, un milió de dòlars se’t queda curt, no? Si t’has de comprar un pis a l’Eixample. O sigui, un milió de dòlars et dona per poc. (Riures)

AC: No, però de vegades la ciència tampoc té aplicacions directes, no?

JMC: Pot ser recerca bàsica, i ja se sabrà com s’aplicarà, com el que li va passar al Mandelbrot, que va aprofitar coses que en principi s’havien quedat parades, sense aplicació, i que estaven fetes.

AC: Planck mirava coses semblants fa més de 100 anys, l’any 1900, estava mirant coses semblants, el que mirava era l’espectre, el cos negre, l’espectre de radiació, en el fons és semblant a una distribució de probabilitats, vols saber els àtoms que hi ha en un cos negre, com emeten radiació, n’hi ha que emeten en el visible, n’hi ha que emeten en l’infraroig, altres en l’ultraviolat, i era molt semblant a això, d’alguna manera és mirar com estan distribuïts els àtoms, igual que comptem com de grans són les ciutats podem comptar quants àtoms hi ha emetent a l’infraroig, o a l’ultraviolat o al que sigui. Això teòricament és molt bonic però no serveix per a res. Perquè serveix saber quants fotons hi ha en l’infraroig o en l’ultraviolat? Doncs d’això va sortir la mecànica quàntica.

LlM: De la catàstrofe, de la catàstrofe de l’ultraviolat. (riures)

EM: Bé, i ara ens explicaràs per a què serveix la mecànica quàntica…

AC: Per a què serveix? Jo no soc expert en mecànica quàntica, això quan vas tenir en Fèlix Ritort… bé, tampoc és que sigui expert en mecànica quàntica, però ell és físic de veritat, jo ja no soc físic, tampoc soc matemàtic, m’he quedat enmig de la transició…

JMC: Però és això que parlàvem abans, que en part és molt com un «joc infantil», i d’aquí surten coses inesperades…

EM: Sí. Però no sempre, he de dir, eh? També deu seguir la llei de Zipf… (riures)

JMC: Exacte! Això també la deu seguir, perquè un descobriment que tingui valor serà un, i després n’hi haurà molts més que no tindran tanta importància. Vull dir que igual segueix aquesta llei potencial…

AC: També hi ha el biaix del supervivent, només veiem el final de les coses que han tingut èxit, les coses que han fracassat no ens han arribat…

JMC: Exacte, això cal tenir-ho present.

EM: (A AC) És una expressió que utilitzes molt a Twitter, això del biaix del supervivent.

AC: Ostres, m’estic repetint a Twitter! M’hauré de renovar!

JMC: Però és que se’n parla poc, s’entrevista als triomfadors, però els que han fracassat ningú ho sap, i són una pila, no?

AC: Segurament hi havia altres físics mirant coses semblants, amb altres models, i han quedat oblidats perquè no van donar lloc a una teoria exitosa com la mecànica quàntica.

LlM: Però a més era el gran problema, el de la catàstrofe de l’ultraviolat era el gran problema de principis del 1900, que els donava una energia infinita.

AC: En la mateixa època hi havia també els models atòmics, per saber l’estructura de l’àtom, quina era, doncs hi havia una sèrie de gent que considerava que els àtoms eren com vòrtex, i va haver-hi molt treball matemàtic sobre els vòrtex i van fer unes teories molt maques però es van quedar en no res al final, no era un model correcte, no descrivia bé l’àtom.

JMC: Jo sempre he pensat que, des del punt de vista de l’ensenyament i de la docència es fa això, s’explica només els triomfadors i no veus què ha passat al darrere. I llavors et surt un paio com el Thomas Kuhn i t’explica allò (la seva teoria sobre l’estructura de les revolucions científiques) i dius: ah! Així no era una cosa lineal, que vas fent i vas trobant? No, és més aviat una guerra dialèctica entre diferents línies i teories, el cas potser més clar és el de la naturalesa corpuscular o ondulatòria de la llum, que de fet encara no s’ha resolt, i porten 200 o 300 anys en aquest debat, i es clar, ha permès descobrir tot això, inclosa la mecànica quàntica. Jo sempre he pensat que és una llàstima que quan vas a l’escola i a l’institut només t’expliquen els guanyadors.

AC: No només a l’escola, a la universitat també.

EM: Fan un discurs lineal, en això tens molta raó, que també de vegades estem educant els estudiants de tesi en plan: no, no, fes això que segur que surt, enlloc de dir: no! Arrisca, ara agafa aquesta altra cosa i posa-t’hi des de zero, és igual que estiguis tres anys sense publicar. Però es clar, no és aquest el discurs que fem, no?

JMC: Quin discurs feu, a veure, explica.

EM: No sé, perquè el discurs depèn molt de l’estudiant, jo els intento… a veure, hi ha d’haver una mica de mitjana, perquè representa que estem en un sistema, quan tu fas una tesi doctoral, o estàs fent investigació, has de treure resultats, estàs com obligat a publicar, a publicar, no? Llavors es clar, si tu et fiques en profund amb un tema, representa que allò ideal és dir: no et preocupis, estigues tres anys, posa la ment en blanc, i treu coses originals, coses noves. Aquest discurs no es fa suficientment.

JMC: Hi ha massa pressió per produir.

EM: Hi ha molta pressió per publicar, i tal, i sortir de la zona de confort de dir: em quedo aquí, fent això que és el que he fet tota la vida que sé que sortirà, intenta demostrar això… Es clar, aquestes idees més transgressores poden fracassar, tenen molta probabilitat de fracassar.

JMC: Tenen molts números, per llei de Zipf.

EM: Quan vam començar a pensar això, perquè hi havia en Daniel que sabia de fluids, i jo sabia de geometria, estàvem bastant ben equipats, però altres vegades et poses a pensar un problema, i pots estar molt temps pensant un problema, i allò no es concreta en res. Llavors, arriscar és superimportant en investigació, i no s’arrisca suficient. En cap país s’arrisca suficient.

AC: Bé, aquí tenim… l’Estat posa diners perquè la gent faci tesis doctorals, però l’Estat també vol saber aquest paio què ha fet cada any, has de fer un informe: què ha fet aquest any? No, ha estat mirant els núvols a veure si se li il·lumina la inspiració…

EM: No, no, has de justificar… bé, a veure, en Grothendieck, quan va escriure tota la seva teoria, a la presó…

JMC: Explica, qui és aquest?

EM: L’(Alexander) Grothendieck és un… va ser, un matemàtic que va fer tota la teoria de feixos, que és una teoria molt important en geometria, és una teoria que ara no explicaré, però la idea és: tu vols dir coses, tu coneixes una informació d’un entorn, i vols extrapolar a tenir informació global, per exemple, del planeta, tens informació sobre el teu poble, i vols tenir informació sobre el planeta. Aquesta idea tan bàsica es pot desenvolupar matemàticament com una teoria que és més aviat de topologia algebraica que és anar agafant entorns oberts i localitzant en certa manera aquesta informació. Doncs la construcció que hi ha al darrere, que és algebraica, la va fer aquest senyor quan estava a la presó, per tant, és una manera…

AC: Aquest era com en (Grigori) Perelman, una mica, no? També se’n va anar a viure als Pirineus, em sembla…

EM: Sí, sí, es clar, es clar, encara…

AC: Va morir, va morir…

JMC: En Perelman?

EM: No, no, en Perelman ningú no sap on és. En Grothendieck, jo vaig estar de post doc a Tolosa de Llenguadoc i ell vivia per allà, i jo estava en un despatx de doctorats, deien, mira, l’espanyola! I els estudiants de doctorat el cap de setmana anaven a trucar a la porta d’en Grothendieck, una mica infantils. I els obria la filla, i els deia: no truqueu més a la porta, i tal. Es veu que estava sense llum, el pobre home. Sí, no va tenir un final… va morir? Fa poc?

AC: Em sembla que sí. Després ho mirem a internet.

JMC: O sigui, encara hi ha genis, d’alguna manera?

AC: Cada cop menys. No sé, en Perelman perquè és rus, i a Rússia s’ho poden permetre, però aquí…

EM: Però què se’n sap d’en Perelman?

AC: Ni idea. No sé, aquí a Occident estem ja massa assilvestrats, em sembla. Aquí no sortiria cap Perelman…

EM: La gent està massa amb el mòbil buscant… si en Grothendieck… (riu)

JMC: Però l’estructura universitària i acadèmica, creieu que us facilita la feina que feu, o us obliga a fer coses que dieu: estaria molt bé tenir més temps per fer això altre o…

AC: A mi em paguen el sou i no em queixaré.

EM: Però no has de fer classes? Ets un investigador 100%? Perquè en principi un professor d’universitat fa classes, fa investigació, i fa gestió de la recerca. I a les nits, intenta dormir. Llavors, si fas moltes hores de classe… a mi m’agrada fer classe, m’ho passo molt bé, però si fas moltes hores de classe, t’ho has de preparar tot, allò, i cada vegada et costa més, perquè quan et fas gran, de vegades el que abans feies de manera automàtica, dius: ostres, va m’ho vull preparar… Després també has de fer, escriure articles, fer d’editor de revistes… al final del dia són moltes coses, i això et treu una mica el punt de creativitat, la rutina mata la creativitat, això està claríssim, això donaria per un altre podcast. Això va de complexitat!

AC: Només volia dir que per una banda em paguen el sou per fer investigació, però tampoc em puc posar a mirar els núvols perquè també volen resultats, he d’aconseguir diners per projectes, i es clar, sempre intentes fer el que dona diners per a un projecte, no el que fa en Perelman o qui sigui.

EM: Es va morir fa temps, eh? (consultant la Viquipèdia) Estem molt despistats. Mira, va morir el 2014, veus aquesta és la foto més coneguda d’en Grothendieck, això no queda gravat.

JMC: No, no es veurà. A veure si algun dia incorporem vídeo a la cosa. A mi m’interessa molt el concepte d’estat crític, l’Albert Díaz-Guilera el primer dia va esmentar un llibre que es deia «Ubiquity», d’un tal Buchanan, en Paul Buchanan, vaig llegir el llibre amb moltes ganes i vaig arribar a la conclusió que no és que estigués parlant d’una ubiqüitat de res concret, sinó que si de cas hi ha alguna ubiqüitat és d’aquest estat crític, que la majoria de sistemes estan en un estat crític, que va una mica amb allò que dèiem abans del caos, i de que hi ha molts sistemes que estan en el marge entre un estat i un estat desordenat, biològics i no biològics, perquè a més l’exemple que fa servir ell és una pila de sorra, vas tirant granets un a un, s’apilonen i arriba un moment en què allò s’esllavissa, però no pots saber en quin moment s’esllavissarà, ni si aquella esllavissada petita que comença per una banda acabarà sent una gran esllavissada o no, que és una mica el que dèiem de la llei de Zipf, segons el que entenc jo.

AC: Sí, també és com una metàfora dels terratrèmols, no? Que quan comença un terratrèmol no saps quina dimensió tindrà.

JMC: Exacte, els terratrèmols, els incendis, no saps quin serà el gran.

EM: Però ell què diu, que el conjunt crític és l’habitual o no? Ell diu que és el contrari…

JMC: Ell parla que la majoria de sistemes d’aquest tipus, tant biològics com geològics, estan sempre en un estat crític, que sempre està a punt d’haver-hi una catàstrofe en un sentit literal i també conceptual, però no pots saber quan serà. I llavors aquí aplica la llei de Zipf per dir: terratrèmols n’hi haurà sempre, i de grans n’hi haurà un cada no sé quan, i llavors n’hi haurà uns quants de més petits, i de petitíssims n’hi haurà centenars o milers. I no sabràs mai quan comença un de petit si s’acabarà convertint en un de gran, igual que la pila de sorra. Això fa gràcia, perquè van provar-ho amb sorra i van veure que no funcionava, i s’havia de fer amb arròs, si anaves tirant grans d’arròs funcionava, i en canvi amb sorra, almenys depèn de quina sorra, no funcionava. Em va fascinar això, perquè penses que en el fons ara per exemple estem intentant adaptar-nos al canvi climàtic, però tenim una societat que jo estic convençut que està en un estat crític, perquè els humans estem sempre al límit, en estat crític, i posar-nos d’acord per dir: ara reduïm, és pràcticament impossible, i penso que això forma part d’un estat crític, tal com ens organitzem, cadascú va sempre al màxim i vol aconseguir el màxim, i posar-nos d’acord per dir: ara anem a reduir, doncs és difícil. A no ser que hi hagi un estat totalitari que ens faci fer una piràmide, o una cosa d’aquestes, des d’un punt de vista humà, i sobretot ara que és tan ubic l’individualisme, i és més difícil fer coses col·lectives. No sé si vosaltres des de la vostra feina teniu intuïcions d’aquesta mena? En relació a la vida social, vull dir.

EM: Bé, es clar, el concepte de… A mi em va agradar, no ho hauria de dir, quan ens vas passar el semiguió ahir, em va agradar aquesta frase que vas dir de l’Ubiquity, perquè en realitat hi ha tota una teoria sobre sobre si tu tens un punt que es diu crític, o al contrari de crític seria un punt genèric, quan no passa allò, d’acord? I pots tenir punts genèrics que estan a prop de punts crítics, com quan va caient la sorra i de repent, pum! allò peta, i això és la topologia diferencial, que ens diu que podem mesurar el conjunt de punts crítics, i la tranquil·litat que et donaré és que la mesura és zero. Què vol dir que la mesura és zero? Que n’hi ha pocs, n’hi ha pocs. El que passa és que quan n’hi ha un, catàstrofe. Per tant, sí que hi ha una teoria matemàtica de tota la teoria, que això ha fet l’Arnold, no m’he pogut llegir el llibre, me’l vull llegir, ja ens ho vas dir això de l’Ubiquity…

JMC: No, no, escolta, jo ho dic perquè…

EM: De fet, tu te l’has llegit? Tu vas dir que te’l llegiries.

AC: No, confesso, m’ha pillat el toro.

JMC: Fa una feina més aviat periodística, de repassar molts casos, no és una feina tan científica com de reporter, però està bé perquè ho fa des d’un plantejament molt honest, crec, i que ho ha venut amb aquesta idea de la ubiqüitat, però crec que el concepte bàsic és l’estat crític.

EM: Des d’un punt de vista de topologia diferencial, que és la forma que tenim de mesurar… diguéssim les trajectòries de partícules i tot això, com ho pensem matemàticament? Ho pensem com a funcions entre dos conjunts, que dius: un moment, què m’estàs dient? Tot això que ell m’ha dit, les transformacions, jo també ho penso com a funció entre dos conjunts. I llavors com a funció entre dos conjunts se li pot donar una estructura, que es diu la topologia, «he venido a hablar de mi libro», topologia, i aquesta estructura et permet dir si passa molt o passa poc. I hi ha un teorema, que es diu teorema de Satt?, que et diu que el conjunt de punts crítics gairebé no passa, té mesura zero. El que passa és que després, si tu vius a dins de l’estat crític , llavors ja és una altra cosa, que té a veure una mica amb el discurs que tu dius, social: si jo visc dins d’un estat crític, després el que abans no era genèric ara pot ser genèric.

Què vol dir? Que si ara em poso en unes determinades condicions, el que abans no anava a passar, ara sí que passarà. Però el teorema de Satt em diu que el conjunt de punts crítics d’una aplicació diferenciable, si és diferenciable, aquí està la qüestió, aquest conjunt té mesura zero. És a dir, que gairebé no passarà, perquè sinó estaríem: ens morirem? Cada dia ens passaria alguna cosa. Clar, hi ha una mica, des d’un punt de vista social, els estats d’alarma van bastant bé, perquè quan hem estat tancats a casa per les pandèmies hem estat controlats, podríem pensar així fins i tot des d’un punt de vista social, per tant… ara, si nosaltres anem als diaris, que no és recomanable, no sortiríem de casa, perquè si no agafes una cosa, agafes verola del simi, i tal, jo tinc amics meus, no diré el nom, que viuen en un estat d’ansietat… vaig quedar amb una persona, i em va venir amb una mascareta militar, què fas? no, no, no vull agafar… i al final la va agafar. Es clar, podem estar en aquest estat permanent d’alarma, que seria estar vivint dins de l’estat crític, però en principi, el conjunt de punts crítics, matemàticament és escàs, vull dir, gairebé…

JMC: Es clar, però amb això entraríem en el que diu en Nassim Nicholas Taleb, no sé si el coneixeu, un senyor que parla del risc en general, és un impugnador de tota la indústria del risc mundial, es va inventar el concepte de cigne negre, que és això, tendeix a zero, però quan passa, prepara’t, perquè ho pot canviar tot.

EM: Sí, és veritat, ho hem vist, la pandèmia havia de durar dues setmanes.

JMC: I la idea del cigne negre és que a l’Edat Mitjana hi havia una teoria no sé si escolàstica o filosòfica que deia que els cignes negres no existien perquè ningú no n’havia vist mai cap, però es clar, van arribar a Austràlia i resulta que es van trobar cignes negres, i resultava que sí que existien. I ell el que planteja és que hi ha riscos que no coneixem i que la indústria del risc està plantejada només des del punt de vista dels riscos que coneixem, i llavors diuen: aquí tenim un 5% de risc per això i per allò, i dius: sí, es clar, però tens un 90% o un 100% de marge que no saps què pot passar, i que potser passa.

AC: En part és també perquè els models que es fan servir per estimar els riscos són models normals de tipus gaussià, que no tenen en compte les lleis de potència aquestes, que tenen unes cues molt més llargues…

JMC: Exacte, la llarga cua.

AC: … que pots trobar esdeveniments de grandària 10, però també 100, i 1.000, i 10.000 i molt més grans. I en part el que diu Taleb, potser no tot, però una part és això de no fer servir models matemàtics adequats per descriure el que passa als mercats financers, per exemple, i en l’economia en general.

Jo volia tornar un moment al que deia l’Eva, per exemple, quan tu tens un material d’una transició de fase, el que dèiem, per sota d’una temperatura tens líquid, i per sobre tens gas, i el punt crític separa això, més o menys, el diagrama de fases, només tens un punt crític, no? És molt difícil, en física quan fas experiments al laboratori és molt difícil engegar el punt crític, has d’ajustar molt bé la temperatura, la pressió o el que sigui, però quan surts del laboratori, a la natura, tu veus moltes estructures fractals, no? Gairebé tot a la natura el que veiem, també l’economia, els sistemes socials, veus aquestes estructures fractals i aquestes lleis de potències, cues llargues, que no són distribucions normals, són distribucions de lleis de potències, i es clar, una mica, encara que el punt crític sigui una cosa que només hi ha un punt crític, hi ha també una teoria que diu que el punt crític és com una mena d’atractor, de vegades, quan tu tens una dinàmica que encara que només hi hagi un punt crític hi ha una dinàmica especial que et porta al punt crític, com una certa propietat afegida si vols, que tu no agafes un valor del teu paràmetre i estàs aquí o estàs allà, el teu paràmetre va canviant però arriba de manera natural al punt crític. Per això veus tantes estructures fractals i tanta complexitat a la natura. És una mica metafòric, però…

LlM: Jo és que precisament abans que has parlat de Planck et volia preguntar una cosa que és, es parla molt, i de fet n’hi ha a la natura, moltes estructures fractals, però una de les característiques de l’estructura fractal és que és independent de l’escala, però en canvi a la natura et trobes un rang d’escales, per exemple Planck seria un límit. Com s’entra i com es surt d’aquesta estructura fractal en el rang d’escales?

AC: Es clar, tens límits.

EM: Bé, la constant de Planck seria una escala també, estàs d’acord amb mi, no? (riures)

AC: Teòricament els fractals tens infinites escales, a la pràctica no veus infinites escales, quan tu mires una coliflor veus potser tres escales, no?

JMC: Entres al conjunt de Mandelbrot i no s’acaba mai.

EM: I fas un zoom, és a dir, cada vegada fas un zoom, et vas canviant les ulleretes cada vegada que fas un zoom, i vas veient allò cada vegada reproduït en escala més petita.

JMC: Però arriba un moment en què la coliflor no té marge per ser més petita.

AC: Però al final són els models matemàtics, bé, són models idealitzats, es com quan dius que la Terra és rodona. La Terra és rodona? Doncs a una certa escala sí, considerar-la una esfera és un bon model. Si vols ser una mica més precís, és un elipsoide. I si encara vols ser més precís és un geoide abonyegat. Són diferents nivells de modelització. El fractal et dona una descripció que crec que és anàloga, dir que la natura és fractal és anàleg a dir que la Terra és rodona.

JMC: És molt interessant això.

LlM: A mi el que m’interessava és com entres i surts del fractal. És a dir: en una coliflor està molt clar, vas tirant i hi ha un moment que no, perquè tens un límit a nivell fins i tot atòmic, o fins i tot a nivell cel·lular. Com es lliga a la natura?

AC: Com es lliga? Tens processos que funcionen així, per exemple dins de l’organisme, les artèries, les venes, es generen… tu et penses que es generen també d’una manera autosimilar, comences amb un sistema que es va ramificant i aquestes ramificacions donen lloc a altres ramificacions, i així successivament. Però el que passa és que òbviament tens un límit perquè no pots tenir artèries més grans que el teu propi cos, el teu propi cos és un límit. I d’altra banda quan arribes a l’escala de la cèl·lula tampoc pots seguir, però sí que et dona una molt bona descripció intermedia de…

EM: És un model.

JMC: Exacte, el fractal és un model matemàtic, i evidentment te’ls trobes similar o pràcticament igual a la natura, amb unes certes escales, com dius tu mateix, però no totes, no trobes un sistema circulatori de la mida de la Via Làctia, per exemple.

AC: N’hi pots dir efectes de mida finita, quan arribes a la mida del sistema… no pots tenir un fractal que sigui més gran que el sistema que el conté.

EM: És un model, el model pot continuar sortint per fora però tu no trauràs artèries per fora! A no ser que siguis un extraterrestre.

LlM: No estàvem posant en dubte el fet fractal, el que estava preguntant, o m’estava preguntant més aviat, com s’entra i es surt? Per dalt és el que esteu dient ara, tens un límit, que és el tot, per sota tens un altre límit, però hi ha un moment que passes d’una estructura a una estructura fractal.

EM: Sí, es clar, com detectes aquest canvi…?

AC: Això són processos de generació, es van generant però arribes al límit del sistema, el sistema t’imposa uns límits que ja no pots ramificar més, no pots replicar més el que estàs fent.

JMC: I al contrari, si vas baixant al nivell molecular, les molècules no poden organitzar-se… bé, de fet, deu tenir altres dimensions fractals, o de fet són física quàntica.

EM: La física quàntica ens donaria per molt.

LlM: (A EM) Voldria fer una altra pregunta referent al principi de tot de la xerrada, quan parlaves d’aquell article, i de Solaris… s’està plantejant molt actualment el tema de si hi ha una singularitat en un futur proper, etc, etc, fins a quin punt que existeixi una capacitat computacional tan gran com podria ser un líquid, ens allunya o ens apropa aquesta dita singularitat, a nivell de si hi ha un coneixement ha de venir fill de l’home, com si diguéssim…?

EM: Sí, aquesta és una mica la qüestió, el que estàs preguntant ho preguntava en (Roger) Penrose, és a dir, pots lligar aquesta qüestió de computació de màquines de Turing amb els límits del coneixement i en dir… Allò de Solaris era ciència ficció, es clar, que per cert, això ho vaig saber perquè m’ho va dir algú al final d’una xerrada meva, diu: tu has llegit Solaris? I jo vaig dir: nooo. Diu: Stanislav Lem, m’ho va dir un noi jove, i llavors em va dir: Soderbergh, que és qui va fer la pel·lícula, i llavors em va dir totes les versions que hi ha, i en aquesta pel·lícula hi ha un mar que pensa. Bé, si vas al llibre és més en plan… que jo no he anat al llibre (al JMC), tu tens temps de llegir-t’ho tot.

JMC: No, però vaja, les pel·lícules no fan justícia al llibre, i la pel·lícula sobre Solaris està pendent de fer-se, és com ell descriu com funciona aquest mar, és brutal, jo és el més bèstia, i el més impressionant i el més…

EM: El Iogui còsmic, diuen, és com un iogui còsmic.

JMC: Es clar, és una ésser, que és tot un planeta, de fet és tot el mar d’un planeta que és capaç de computar-ho tot i ficar-se en la ment dels investigadors que teòricament han anat a investigar-lo, i el mar el que fa és solidificar i treure de la ment d’aquelles persones que estan allà orbitant al voltant, treure’ls els seus somnis, els seus éssers estimats que estan morts, i els recrea i els els presenta, que és en el que es basen les pel·lícules, però la història, el que fa Lem és plantejar-se fins a quin punt… quins límits té la pura intel·ligència…

EM: Quins són els límits.

JMC: Exacte, és un personatge bastant peculiar en Lem, m’ha fet gràcia que en parlessis perquè de fet la teva recerca intentava saber si aquest mar seria possible.

EM: Sí, exacte.

JMC: Però segurament nosaltres estem en un estadi dels nostres coneixements que no ho podem saber realment.

EM: Es clar, perquè la construcció d’aquest mar tresdimensional que nosaltres fem, la màquina d’aigua aquesta, té trampa. Vull dir, té trampa perquè no és física en aquest petit anell. Per tant, sí que és el mar de Lem fora d’aquest petit anell.

JMC: I a fi de comptes és un model matemàtic.

EM: Sí, és un model matemàtic. Es clar, el que ell diu és, si hi ha una extinció realment brutal del món, o sigui, en certa manera si anem cap al punt crític del final de…

JMC: De l’univers?

EM: De l’univers, hi ha alguna manera de predir-ho? Entenc que la teva pregunta és aquesta, o sigui si l’existència d’aquest mar de Lem, si aquesta potència computacional ens podria servir per fer prediccions, o és això el que estàs preguntant.

LlM: Només treia el tema. (riures)

EM: Ah bé, molt bé (riu)

JMC: A mi m’agrada insistir molt en aquesta idea: que el que fem els humans és intentar imaginar-nos com funciona el món del qual formem part, i que purament són teories i models, cada vegada més perfeccionats, però no estem descrivint el món tal com és sinó tal com ens imaginem que és, i per això cada 20 o cada 30 anys surten plantejaments nous, els sistemes complexos per exemple ho han revolucionat tot, i abans el plantejament diguem-ne il·lustrat que es desenvolupa durant el segle XIX és molt lineal, molt jeràrquic…

EM: No hem parlat de sistemes complexos…

AC: Una vegada vaig llegir que si pots definir un sistema complex és que no és un sistema complex (riures)

EM: Exacte, quina és la definició de sistema complex? Perquè n’hi ha diverses: la complexitat computacional, la complexitat del teu sistema, l’entropia, el desordre.

AC: Si al final pots definir la complexitat… no es pot.

JMC: Bé, tenim límits.

EM: Bé, el que passa és que hi ha moltes definicions que no són equivalents.

AC: Sí, i de vegades és una paraula comodí que es fa servir per moltes coses, un calaix de sastre i hi ha coses molt diferents molt ficades.

JMC: Clar, si mirem enrere, l’any 1720 per exemple, què creia la gent i quin era el nivell científic, i si tirem endavant, podem saber l’any 2320 què pensaran i en quin estat estarà la ciència, no? Si aconseguim arribar-hi.

EM: El 2320 estarem tots morts.

JMC: Nosaltres sí, però se suposa que hi haurà gent.

AC: No sé si arribarem a un límit de complexitat en el qual el cervell humà no dona més de sí. Tal com som els humans avui dia, si no ens donen vitamines especials, potser no podrem passar d’un llindar de coneixement.

JMC: Bé, podríem deixar-ho aquí, presento en Lluís Marimon, abans he presentat els dos convidats però no a la persona que ens acompanya, i que ha intervingut amb molt criteri, i que és company, amic i que de fet sap molt més de matemàtiques i de física que jo. Doncs ho deixem així, moltes gràcies a tots tres, i a veure si servirà per a alguna cosa això.

EM: (a AC) Ara hem de col·laborar, estem treballant en les mateixes coses.

AC: Doncs hauré d’aprendre geometria!

EM: No cal, no cal.